Wozu braucht man Ableitungen und all das?
Um zu verstehen, wo man Differentialrechnung braucht, ist
es hilfreich sich zu überlegen, was für eine Idee wir damit beschreiben wollen.
Differentialrechnung wurde entwickelt, um Dinge zu verstehen,
die sich halbwegs regelmäßig ändern.
Wenn man kurz nachdenkt, dann fallen einem hunderte Dinge ein, die sich regelmäßig ändern.
Beispielsweise kann man sich ansehen wie
- Pflanzen und Tieren wachsen,
- Objekte sich in verschiedenen Situationen bewegen
(Raketen, Autos, Planeten, und Millionen anderer Beispiele...).
- Wellen sich ausbreiten (Wasserwellen, Musik, Licht,...)
- oder das Wetter sich in den nächsten Tagen entwickelt.
Die Veränderung muss aber nicht in der Zeit passieren.
Wenn wir eine krumme Oberfläche (z.B. eine Kugeloberfläche) haben und berechnen wollen,
wieviel Volumen diese einschließt, kann man auch Differentialrechnung
(oder besser: Integralrechnung) anwenden.
Wenn man das Ganze umgekehrt ansieht, dann stellt man fest, dass stabile
Phänomene dadurch beschrieben werden können, dass sich etwas nicht ändert.
Anwendungen gibt es in
- Ingenieurwesen und technische Konstruktionen,
(Wir wollen nicht, dass unser Haus/Schiff/Flugzeug bei Belastung auseinanderbricht!)
- Chemie und Biologie (In industriellen Anwendungen muss man sicherstellen,
dass chemische Reaktionen stabil und gleichmäßig ablaufen.)
Weiterhin kann man Differentialrechnung manchmal verwenden, um festzustellen, was in
einer Situation optimal (= am Besten) ist. (Wie das geht, wird in jedem Analysisbuch erklärt.)
Man kann damit beispielsweise folgende Fragen beantworten.
- Was ist die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten? Auf der Ebene ist
das noch leicht: eine Gerade. Aber was ist, wenn man sich auf einer krummen Fläche (wie
der Erdkugel) befindet oder eine Sonde zum Mars schicken will?
- Warum hat eine Seifenblase die Form einer Kugel und welche Form nimmt eine eingespannte
Seifenhaut an?
Außerdem kann man innerhalb der Mathematik Ableitungen und Integrale dazu benutzen,
um andere nützliche Objekte zu definieren oder einfacher zu berechnen.
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